题目

如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上的P点沿水平方向以初速度υ0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为θ，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求： （1） 该星球表面的重力加速度g； （2） 该星球的第一宇宙速度υ； （3） 人造卫星在该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T． 答案： 解：小球做平抛运动，水平位移x=υ0t，竖直位移 y=12gt2由位移关系得： tanθ=yx=12gt2υ0t ， g=2υ0tanθt 解：该星球的近地卫星的向心力由万有引力提供 GMmR2=mυ2R ①该星球表面物体所受重力等于万有引力， GMmR2=mg ②由①②得 υ=gR=2υ0Rtanθt 解：人造卫星的向心力由万有引力提供 GMmr2=m4π2T2r，T=4π2r3GM=4π2r3gR2当r=R时，T最小， T=4π2Rg=4π2Rt2υ0tanθ=2π2Rtυ0tanθ

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