题目

已知函数f(x)＝ax＋(a>1)． (1)求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数； (2)求证：方程f(x)＝0没有负根． 答案：[证明]　(1)解法1：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1<x2，则x2－x1>0，ax2－x1>1且ax1>0， ∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0. 又∵x1＋1>0，x2＋1>0， 求导数得f′(x)＝axlna＋， ∵a>1，∴当x>－1时，axlna>0，>0， ∴f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立， f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)解法1：设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0， 则ax0＝－，且0<ax0<1， ∴0<－<1，即<x0<2， 与假设x0<0矛盾，故方程f(x)＝0没有负根． 解法2：设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0， ①若－1<x0<0，则<－2，ax0<1， ∴f(x0)<－1与f(x0)＝0矛盾． ②若x0<－1，则>1，ax0>0， ∴f(x0)>1与f(x0)＝0矛盾． 故方程f(x)＝0没有负根.

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