题目

如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD （1） 求二面角B﹣AD﹣F的大小； （2） 求直线BD与EF所成的角的余弦值． 答案： 解：∵AD与两圆所在的平面均垂直， ∴AD⊥AB，AD⊥AF，∴∠BAF是二面角B﹣AD﹣F的平面角，∵AB=AC，∠BAC=90°，O是BC的中点，∴∠BAF= 12 ∠BAC=45°．即二面角 QUOTE 的大小为45° 解：∵OA=OB，∠BAO=45°，∴∠AOB=90°． 以O为原点，以OB，OF，OE所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，﹣3 2 ，0），B（3 2 ，0，0），D（0，﹣3 2 ，8），E（0，0，8），F（0，3 2 ，0），∵ BD→ =（﹣3 2 ，﹣3 2 ，8）， FE→ =（0，﹣3 2 ，8），∴ BD→⋅FE→ =0+18+64=82．| BD→ |=10，| FE→ |= 82 ．∴cos＜ BD→,FE→ ＞= |BD→⋅FE→||BD→|⋅|FE→| = 8210⋅82 = 8210 ．故直线BD与EF所成的角为arccos 8210 ．

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