题目

已知 是实常数，函数 . （1） 若 ，求证：函数 是减函数； （2） 讨论函数 的奇偶性，井说明理由. 答案： 解：（1）当 a=1 时， f(x)=lg(1−x)−lg(1+x)=lg1−x1+x ， (−1<x<1) ， 设 −1<x1<x2<1 ， 则 f(x1)−f(x2)=lg1−x11+x1−lg1−x21+x2=lg(1−x1)(1+x2)(1−x2)(1+x1) ， 又 (1−x1)(1+x2)−(1−x2)(1+x1)=2(x2−x1)>0 ， 即 (1−x1)(1+x2)(1−x2)(1+x1)>1 ， 即 f(x1)−f(x2)>0 ， 即 f(x1)>f(x2) ， 故当时 a=1 ，函数 y=f(x) 是减函数； 解：由（1）可得，函数 y=f(x) 的定义域为 (−1,1) ， 因为 f(x)=alg(1−x)−lg(1+x) ， 所以 f(−x)=alg(1+x)−lg(1−x) ， 则 f(x)+f(−x)=a[lg(1−x)+lg(1+x)]−[lg(1+x)+lg(1−x)] =(a−1)lg(1−x2) ， 显然当 a=1 时， f(x)+f(−x)=0 ，即 f(x)=−f(−x) ，即函数为奇函数， 则 f(x)−f(−x)=(a+1)[lg(1−x)−lg(1+x)]=(a+1)lg1−x1+x ， 显然当 a=−1 时， f(x)−f(−x)=0 ，即 f(x)=f(−x) ，即函数为偶函数， 当 a≠1 且 a≠−1 时， f(x)≠−f(−x) 且 f(x)≠f(−x) ，即函数 y=f(x) 为非奇非偶函数. 故当 a=1 时，即函数为奇函数，当 a=−1 时，函数为偶函数，当 a≠1 且 a≠−1 时，函数 y=f(x) 为非奇非偶函数.

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