题目

如图，△ABC和△DBE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接CE． （1） 如图1，若∠BAC＝∠BCA＝∠BDE＝∠BED＝55° ①求证：AD＝CE； ②求∠AEC的度数． （2） 如图2，若∠ABC＝∠DBE＝120°，BM为△BDE中DE边上的高，CN为△ACE中AE边上的高，CN＝a，BM＝b试证明：AE＝ a+2 b． 答案： 解：①证明： ∵∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC＝55°， ∴∠ABD＝∠CBE． ∵△ABC和△DBE均为以点B为腰上顶点的等腰三角形． ∴BA＝BC，BD＝BE ∴△ABD≌△CBE． ∴AD＝CE ②解：∵△ABD≌△CBE（已证） ∴∠BDA＝∠BEC＝180°﹣∠BDE ∵∠AEC＝∠BEC﹣∠BED ∴∠AEC＝180°﹣2∠BDE＝70° 解：同理可证：AD＝CE，∠BEC＝120° ∴∠CEN＝60° ∵CN为△ACE中AE边上的高 ∴∠ECN＝30° ∵CN＝a， 在Rt△CEN中，CN＝a，∠ECN＝30°， 根据勾股定理得，CE＝ 233 a ∴AD＝CE＝ 233 ∵△DBE为等腰三角形，BM为△BDE中DE边上的高， ∴DE＝2DM ∵∠DBE＝120° ∴∠BDM＝30° 在Rt△BDM中，根据勾股定理得，DM＝ 3 b ∴DE＝2DM＝2 3 b ∴AE＝AD+DE＝ 233 a+2 3 b

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