题目

如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与轴交于点B(0，3)，与x轴交于C、D两点， （1） 求此抛物线的解析式． （2） 若点P是对称轴上的一个动点，当△PBC周长最小时，求点P的坐标． （3） 抛物线上是否存在点Q，使点Q到直线BD的距离为？若存在，请直接写出Q的坐标，若不存在，请说明理由． 答案： 解：∵抛物线的顶点为A（1，4），∴设抛物线的解析式y＝a（x﹣1）2+4，把点B（0，3）代入得，a+4＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4； 解：如图1，由抛物线抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4得对称轴为x=1，点C与点D关于对称轴对称，把y=0代入y＝﹣（x﹣1）2+4，得﹣（x﹣1）2+4=0，解得x1=−1，x2=3，∴点C坐标为（-1，0），点D坐标为（3，0），∵BC为定值，∴当PB+PC的值最小时，△PBC周长最小，连接BD，交抛物线对称轴于点P，此时，PB+PC值最小，即△PBC周长最小．设直线BD解析式为y=kx+b（k≠0），由题意得{b=33k+b=0，解得{k=−1b=3，∴直线BD解析式为y=-x+3，把x=1代入y=-x+3得y=-1+3=2，∴点P坐标为（1，2）； 解：Q1(3+52，5−52)，Q2(3−52，5+52)，Q3(3+132，1−132)，Q4(3−132，1+132) ．

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