题目

已知函数 . （1） 如果 ，求函数 的值域； （2） 求函数 ＝ 的最大值； （3） 如果对不等式 中的任意 ，不等式恒成立，求实数 的取值范围． 答案： 解：令 t=log2x ， h(x)=(4−2log2x)⋅log2x=−2(t−1)2+2 . 因为 x∈[1,4] ，所以 t∈[0,2] ，所以 h(x) 的值域为 [0,2] ． 解： f(x)−g(x)=3(1−log2x) ， 当 0<x≤2 时， f(x)≥g(x) ；当 x>2 时， f(x)<g(x) ， 所以 M(x)={g(x),f(x)≥g(x)f(x),f(x)<g(x) 即 M(x)={log2x,0<x≤23−2log2x,x>2 当 0<x≤2 时， M(x) 的最大值为1；当 x>2 时， M(x)<1 . 综上，当 x=2 时， M(x) 取到最大值为1. 解：由 f(x)>kg(x) ，得 (3−4log2x)(3−log2x)>k⋅log2x . 因为 x∈[1,4] ，所以 t∈[0,2] ， 所以 (3−4t)(3−t)>kt 对一切 t∈[0,2] 恒成立． ① 当 t=0 时， k∈R ； ② t∈(0,2] 时， k<(3−4t)(3-t)t 恒成立，即 k<4t+9t−15 . 因为 4t+9t≥12 ，当且仅当 4t=9t ，即 t=32 时取等号． 所以 4t+9t−15 的最小值为 −3 . 综上， k<−3 .

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