题目

如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，已知 ，这时我们把关于x的形如 二次方程称为“勾系一元二次方程”. 请解决下列问题： （1） 写出一个“勾系一元二次方程”； （2） 求证：关于x的“勾系一元二次方程” ，必有实数根； （3） 若x=-1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形ACDE的周长是6 ，求△ABC的面积. 答案： 解：当a=3,b=4,c=5时， 勾系一元二次方程为 3x2+52x+4=0 证明：依题意得△=（ 2c ）2-4ab=2c2-4ab, ∵a2+b2=c2,∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0， 即△≥0，故方程必有实数根 解：把x=-1代入得a+b= 2 c ∵四边形ACDE的周长是6 2 ， 即2(a+b)+ 2 c=6 2 ，故得到c=2， ∴a2+b2=4，a+b=2 2 ∵(a+b)2=a2+b2+2ab ∴ab=2, 故△ABC的面积为 12 ab=1.

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