题目

如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是BC上一个动点，连接AD，以AD为边向右侧作等腰直角△ADE，其中∠ADE=90°． （1） 如图2，G，H分别是边AB，BC的中点，连接DG，AH，EH．求证：△AGD∽△AHE； （2） 如图3，连接BE，直接写出当BD为何值时，△ABE是等腰三角形； （3） 在点D从点B向点C运动过程中，求△ABE周长的最小值． 答案： 证明：如图2，由题意知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠B=∠DAE=45°．∵H为BC中点，∴AH⊥BC．∴∠BAH=45°=∠DAE．∴∠GAD=∠HAE．在等腰直角△BAH和等腰直角△DAE中，AH＝ 22 AB＝ 2 AG，AE＝ 2 AD．∴ AHAG＝AEAD ，∴△AGD∽△AHE； 解：分三种情况：①当B与D重合时，即BD=0，如图3，此时AB=BE；②当AB=AE时，如图4，此时E与C重合，∴D是BC的中点，∴BD= 12 BC=2 2 ；③当AB=BE时，如图5，过E作EH⊥AB于H，交BC于M，连接AM，过E作EG⊥BC于G，连接DH，∵AE=BE，EH⊥AB，∴AH=BH，∴AM=BM，∵∠ABC=45°，∴AM⊥BC，△BMH是等腰直角三角形，∵AD=DE，∠ADE=90°，易得△ADM≌△DEG，∴DM=EG，∵∠EMG=∠BMH=45°，∴△EMG是等腰直角三角形，∴ME= 2 MG，由（1）得：△AHD∽△AME，且 MEDH=2 ，∴∠AHD=∠AME=135°，ME= 2 DH，∴∠BHD=45°，MG=DH，∴△BDH是等腰直角三角形，∴BD=DH=EG=DM= 2 ；综上所述，当BD=0或 2 或2 2 时，△ABE是等腰三角形； 解：当点D与点B重合时，点E的位置记为点M，连接CM，如图6，此时，∠ABM=∠BAC=90°，∠AMB=∠BAM=45°，BM=AB=AC．∴四边形ABMC是正方形．∴∠BMC=90°，∴∠AMC=∠BMC-∠AMB=45°，∵∠BAM=∠DAE=45°，∴∠BAD=∠MAE，在等腰直角△BAM和等腰直角△DAE中，AM＝ 2 AB，AE＝ 2 AD．∴ AMAB＝AEAD ．∴△ABD∽△AME．∴∠AME=∠ABD=45°∴点E在射线MC上，作点B关于直线MC的对称点N，连接AN交MC于点E′，∵BE+AE=NE+AE≥AN=NE′+AE′=BE′+AE′，∴△ABE′就是所求周长最小的△ABE．在Rt△ABN中，∵AB=4，BN=2BM=2AB=8，∴AN＝ AB2+BN2=45 ．∴△ABE周长最小值为AB+AN＝4+4 5 ．

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