题目

如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE=4，AE=8． （1） 求证：DF是⊙O的切线； （2） 求证：OC2=OE•OP； （3） 求线段EG的长． 答案： 证明：连接OD，如图1所示： ∵OA=OD，∴∠DAB=∠ADO，∵∠DAF=∠DAB，∴∠ADO=∠DAF，∴OD//AF，又∵DF⊥AF，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线； 证明：由（1）得：DF⊥OD， ∴∠ODF=90°，∵AB⊥CD，∴由射影定理得：OD2=OE•OP，∵OC=OD，∴OC2=OE•OP 解：连接DG，如图2所示： ∵AB⊥CD，∴DE=CE=4，∴CD=DE+CE=8，设OD=OA=x，则OE=8﹣x，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，即（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴CG=2OA=10，∵CG是⊙O的直径，∴∠CDG=90°，∴DG= CG2−CD2 = 102−82 =6，∴EG= DG2+DE2 = 62+42 =2 13 ．

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