题目

已知 =（sinx，cosx）， =（sinx，k）， =（﹣2cosx，sinx﹣k）． （1） 当x∈[0， ]时，求| + |的取值范围； （2） 若g（x）=（ + ）• ，求当k为何值时，g（x）的最小值为﹣ ． 答案： 解： b→+c→ =（sinx﹣2cosx，sinx）， | b→+c→ |2=（sinx﹣2cosx，sinx）2=2sin2x﹣4sinxcosx+4cos2x=2cos2x﹣4sinxcosx+2=cos2x﹣2sin2x+3= 5 cos（2x+φ）+3，其中，tanφ=2，又∵x∈[0， π4 ]，∴ 2x+φ∈[φ，π2+φ] ，∴ 5cos(2x+φ) 在 [φ，π2+φ] 上单调递减，∴| 5 cos（2x+φ）|2∈[1，4]，∴| b→ + c→ |∈[1，2]． 解： a→+b→ =（2sinx，cosx+k）， g（x）=（ a→+b→ ） ⋅c→ =﹣4sinxcosx+（cosx+k）（sinx﹣k）=﹣3sinxcosx+k（sinx﹣cosx）﹣k2令t=sinx﹣cosx= 2 sin（x﹣ π4 ），则t∈[﹣ 2 ， 2 ]，且t2=sin2x+cos2x﹣2sinxcosx=1﹣2sinxcosx，所以 sinxcosx=1−t22 ．所以g（x）可化为 h(t)=(−3)⋅1−t22+kt−t2=32t2+kt−k2−32，t∈[−2，2] ，对称轴 t=−k2×32=−k3 ．①当 −k3<−2 ，即 k>32 时， g(x)min=h(−2)=32×(−2)2+k(−2)−k2−32=−k2−2k+32 ，由 −k2−2k+32=−32 ，得 k2+2k−3=0 ，所以 k=−2±142 ．因为 k>32 ，所以此时无解．②当 −2≤−k3≤2 ，即 −32≤k≤32 时， g(x)min=h(−k3)=32(−k3)2+k(−k3)−k2−32=−76k2−32 ．由﹣ 7k26 ﹣ 32 =﹣ 32 ，得k=0∈[﹣3 2 ，3 2 ]．③当﹣ k3>2 ，即k＜﹣3 2 时，g（x）min=h（ 2 ）=﹣k2+ 2 k+ 32 ，由﹣k2+ 2 k+ 32 =﹣ 32 ，得k2﹣ 2 k﹣3=0，所以k= 2±142 ．因为k <−32 ，所以此时无解．综上所述，当k=0时，g（x）的最小值为﹣ 32 ．

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