题目

已知椭圆C：的离心率为，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）在轴上，是否存在定点E，使恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由． 答案：（1）由已知可得，解得 所求的椭圆方程为 ……………4分 （2）设过点D（0,2）且斜率为k的直线l的方程为y=kx+2, 由消去y整理得： 设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=﹣ 又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣， y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）=k（x1+x2）+4= 设存在点E（0，m），则， 所以= =         ……………8分 要使得 （t为常数）， 只要 =t，从而（2m2﹣2﹣2t）k2+m2﹣4m+10﹣t=0 即由（1）得 t=m2﹣1，代入（2）解得m=，从而t=， 故存在定点 ，使 恒为定值 ．……………12分

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