题目

在如图所示的四棱锥 中，四边形ABCD为正方形， 平面PAB,且 分别为 的中点， .证明： （1） 平 ; （2） 若 ，求二面角 的余弦值. 答案： 解: 证明: 连结BD,分别的交 AC,MN 于点 O,G ，连结 EO,FG,∵O 为BD中点， E为PD中点， ∴EO∥PB .又 PF→=3FD→,∴F 为ED中点，又 CM=MD,AN=DN,∴G 为OD的中点， ∴FG∥EO,∴PB∥FG.∵FG⊂ 平面 FMN,PB⊄ 平面 FMN,∴PB∥ 平面FMN. 解: ∵BC⊥ 平面 PAB,∴BC⊥PA ,又 PA⊥CD,BC∩CD=C,∴PA⊥ 平面 ABCD .如图，以A为坐标原点， AB,AD,AP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0),C(2,2,0),B(2,0,0),E(0,1,1) ,则 AC→=(2,2,0),AE→=(0,1,1),∵PA⊥ 平面ABCD,∴ 平面ABC的一个法向量 n0→=(0,0,1) ,设平面AEC的法向量为 n→=(x,y,z) ,则 {n→·AE→=0n→·AC→=0 ,即 {y+z=02x+2y=0 ,令x=1,则 y=−1,z=1,∴n→=(1,−1,1),∴cos〈n0→,n→〉=n0→·n→|n0→||n→|=33 ,由图可知，二面角 E−AC−B 为饨角， ∴ 二面角 E−AC−B 的余弦值 −33

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