题目

已知函数（且）．（1）求函数的定义域及单调区间；（2）求函数的零点．答案：解：要使函数有意义，则有 {1−x>0x+3>0 ，解得 −3<x<1 ．所以函数的定义域为 (−3，1) ．则 f(x)=loga(1−x)(x+3) ，令 u=(1−x)(x+3) ，则 y=logau ，因为 u=(1−x)(x+3) 在 (−3，−1) 上递增，在 (−1，1) 上递减，当 a>1 时， y=logau 是增函数，所以 f(x) 在 (−3，−1) 上递减，在 (−1，1) 上递减，当 0<a<1 时， y=logau 是减函数所以 f(x) 在 (−3，−1) 上递减，在 (−1，1) 上递增综上，当 a>1 时， f(x) 的递增区间为 (−3，−1) ，递减区间为 (−1，1) 当 0<a<1 时， f(x) 的递增区间为 (−1，1) ，递减区为 (−3，−1) 解：函数可化为 f(x)=loga(1−x)(x+3)=loga(−x2−2x+3) ，由 f(x)=0 ，得 -x2−2x+3=1 ，即 x2+2x−2=0 ，解得 x=-1±3 ．因为 -1±3∈(−3，1) ，所以 f(x) 的零点是 −1±3 ．

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