题目

如图 （1） 方法回顾：在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：第一步添加辅助线：如图1，在 中，延长 （ 分别是 的中点）到点 ，使得 ，连接 ；第二步证明 ，再证四边形 是平行四边形，从而得出三角形中位线的性质结论：（请用DE与BC表示） （2） 问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF的长． （3） 拓展研究：如图3，在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝ ，DF＝2，∠GEF＝90°，求GF的长． 答案： 【1】DE∥BC，DE= 12 BC 解：如图2，延长GE、FD交于点H，∵E为AD中点，∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，在△AEG和△DEH中{∠A=∠HDEEA=ED∠AEG=∠HED∴△AEG≌△DEH(ASA)∴AG=HD=2， EG=EH∵∠GEF=90°∴EF垂直平分GH，∴GF=HF=DH+DF=2+3=5； 解：如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF：同(1)可知△AEG≌△DEH，GF=HF△AEG≌△HDE ，AG=HD= 2∵∠ADC=120°∠HDF=360°-105°-120°=135°∴∠HDP=45°∴△PDH为等腰直角三角形∴PH=PD=1又∵DF=2∴PF=3∴GF=HF= 10，

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