题目

已知函数f（x）=lnx，g（x）= +bx（a≠0） （Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+bex ， x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解：（I）依题意：h（x）=lnx+x2﹣bx． ∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，∴ h'(x)=1x+2x−b≥0 对x∈（0，+∞）恒成立，∴ b≤1x+2x ，∵x＞0，则 1x+2x≥22 ．∴b的取值范围是 (−∞，22] ．（II）设t=ex，则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]．∵ y=(t+b2)2−b24 ．∴当 −b2≤1 ，即 −2≤b≤22 时，函数y在[1，2]上为增函数，当t=1时，ymin=b+1；当1＜﹣ b2 ＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣ b2 时， ymin=−b24 ； 当−b2≥2 ，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数，当t=2时，ymin=4+2b．综上所述： φ(x)={b+1−2≤b≤22−b24−4<b<−24+2bb≤−4 （III）设点P、Q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2．则点M、N的横坐标为 x=x1+x22 ．C1在点M处的切线斜率为 k1=1x|x=x1+x22=2x1+x2 ．C2在点N处的切线斜率为 k2=ax+b|x=x1+x22=a(x1+x2)2+b ．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．即 2x1+x2=a(x1+x2)2+b ．则 2(x2−x1)x1+x2=a(x22−x12)2+b(x2−x1)=(a2x22+bx2)−(a2x12+bx1) = y2−y1=lnx2−lnx1=lnx2x1 ，∴ lnx2x1=2(x2−x1)x1+x2=2(x2x1−1)1+x2x1 设 u=x2x1>1 ，则 lnu=2(u−1)1+u，u>1 ，（1）令 r(u)=lnu−2(u−1)1+u，u>1 ，则 r'(u)=1u−4(u+1)2=(u−1)2u(u+1)2 ，∵u＞1，∴r′（u）＞0，所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，故r（u）＞r（1）=0，则 lnu>2(u−1)u+1 ，与（1）矛盾！

查看本题答案和解析