题目

在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线 的极坐标方程为 ，椭圆C的参数方程为 （t为参数）.若直线 与椭圆C交于A ， B两点，求线段AB的长. 答案：解：由 ρsin(π3−θ)=32 ，得 ρ(32cosθ−12sinθ)=32 ， 即 32x−12y=32 ，化简得 y=3x−3 ， 所以直线l的直角坐标方程是 y=3x−3 . 由 (x2)2+(y3)2=cos2t+sin2t=1 ， 得椭圆C的普通方程为 x24+y23=1 . 联立直线方程与椭圆方程，得 {y=3x−3x24+y23=1 ， 消去y，得 x24+(x−1)2=1 ， 化简得 5x2−8x=0 ，解得 x1=0 ， x2=85 所以 A(0,−3) ， B(85,353) ， 则 AB=(0−85)2+(−3−353)2=165 .

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