题目

如图，在平面直角坐标系中，已知直线PA是一次函数y＝x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y＝﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点. （1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；（2）若四边形PQOB的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：解：在直线y＝x+m中，令y＝0，得x＝﹣m.∴点A（﹣m，0）.在直线y＝﹣3x+n中，令y＝0，得x=n3.∴点B(n3，0).由{y=x+my=−3x+n，得{x=n−m4y=n+3m4，∴点P(n−m4，n+3m4).在直线y＝x+m中，令x＝0，得y＝m，∴|﹣m|＝|m|，即有AO＝QO.又∵∠AOQ＝90°，∴△AOQ是等腰直角三角形，∴∠PAB＝45°；解：∵CQ=12AO，∴(n−m)÷m=12，整理得3m＝2n，∴n=32m，∴n+3m4=32m+3m4=98m，而S四边形PQOB=S△PAB−S△AOQ=12(n3+m)×(98m)−12×m×m=1132m2=112，解得m＝±4，∵m＞0，∴m＝4，∴n=32m=6，∴P(12，92).∴PA的函数表达式为y＝x+4，PB的函数表达式为y＝－3x+6；解：存在.过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D1，过点A作BP的平行线交PM于点D2，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D3.①∵PD1∥AB且BD1∥AP，∴PABD1是平行四边形.此时PD1=AB，∵P(12，92).∵m＝4，A（﹣m，0），B(n3，0).∴A（﹣4，0），B（2，0）.∴AB＝6，∴D1(132，92)；②∵PD2∥AB且AD2∥BP，∴PBAD2是平行四边形.此时PD2=AB，∴D2(−112，92)；③∵BD3∥AP且AD3∥BP，此时BPAD3是平行四边形.∵BD3∥AP且B（2，0），∴yBD3=x−2.同理可得yAD3=−3x−12由{y=x−2y=−3x−12，得，{x=−52y=−92∴D3(−52，−92).综上：存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为(132，92)或(−112，92)或(−52，−92).

数学试题推荐

数学试卷推荐