题目

如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。 （1） 求证：AD垂直平分EF。 （2） 若AB+AC=16，S△ABC=24，∠EDF=120°，求AD的长。 答案： 证明：设 AD、EF 的交点为K，∵AD平分 ∠BAC， DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=AFD=90°，在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中，{AD=ADDE=EF ，∴ Rt△ADE ≌ Rt△ADF (HL). ∴AE=AF.又 ∵∠EAD=FAD，AK=AK， ∴ △AEK ≌ △AFK， ∴EK=KF，∠AKE=∠AKF=90°，∴AD 是线段EF的垂直平分线 解： S△ABC=S△ABD+S△ACD=24. ∴12AB⋅DE+12AC⋅DF=24,∵AB+AC=16,DE=DF.∴12(AB+AC)DE=24,∴DE=DF=3.在四边形AEDF中， ∠EDF=120∘,∠DEA=∠DFA=90∘.∴∠EAF=60∘,∠EAD=∠FAD=30∘.在 Rt△ADE 中， AD=2DE=6.

查看本题答案和解析