题目

如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D ． （1） 求证：△DAC∽△DBA； （2） 过点C作⊙O的切线CE交AD于点E ， 求证：CE＝ AD； （3） 若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G ， 且AD＝6，AB＝3，求CG的长． 答案： 证明：∵AB是⊙O直径， ∴∠ACD＝∠ACB＝90°， ∵AD是⊙O的切线， ∴∠BAD＝90°， ∴∠ACD＝∠BAD＝90°， ∵∠D＝∠D， ∴△DAC∽△DBA． 证明：∵EA，EC是⊙O的切线， ∴AE＝CE， ∴∠DAC＝∠ECA， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACE＋∠DCE＝90°，∠DAC＋∠D＝90°， ∴∠D＝∠DCE， ∴DE＝CE， ∴AD＝AE＋DE＝CE＋CE＝2CE， ∴CE＝ 12 AD． 解：在Rt△ABD中，AD＝6，AB＝3， ∴tan∠ABD＝ ADAB ＝2， 如图，过点G作GH⊥BD于H， ∴tan∠ABD＝ GHBH ＝2， ∴GH＝2BH， ∵点F是直径AB下方半圆的中点， ∴∠BCF＝45°， ∴∠CGH＝45°， ∴CH＝GH＝2BH， ∴BC＝BH＋CH＝3BH， 在Rt△ABC中，tan∠ABC＝ ACBC ＝2， ∴AC＝2BC， 根据勾股定理得AC2＋BC2＝AB2， ∴4BC2＋BC2＝9， ∴BC＝ 355 ， ∴3BH＝ 355 ， ∴BH＝ 55 ， ∴GH＝2BH＝ 255 ， 在Rt△CHG中，∠BCF＝45°， ∴CG＝ GH＝ 2105 ．

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