题目

设函数 ，其中 . （Ⅰ）若 ，讨论 的单调性； （Ⅱ）若 ， （i）证明 恰有两个零点 （ii）设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明 . 答案：解：（Ⅰ）解：由已知， f(x) 的定义域为 (0,+∞) ，且 f(x)=1x−[aex+a(x−1)ex]=1−ax2exx 因此当 a≤0 时， 1−ax2ex>0  ，从而 f′(x)>0 ，所以 f(x) 在 (0,+∞) 内单调递增. （Ⅱ）证明：（i）由（Ⅰ）知 f′(x)=1−ax2exx .令 g(x)=1−ax2ex ，由 0<a<1e ， 可知 g(x) 在 (0,+∞) 内单调递减，又 g(1)=1−ae>0 ，且 g(ln1a)=1−(ln1a)1a=1−(ln1a)2<0 . 故 g(x)=0 在 (0,+∞) 内有唯一解，从而 f′(x)=0 在 (0,+∞) 内有唯一解，不妨设为 x0 ，则 1<x0<ln1a .当 x∈(0,x0) 时， f′(x)=g(x)x>g(x0)x=0 ，所以 f(x) 在 (0,x0) 内单调递增；当 x∈(x0,+∞) 时， f′(x)=g(x)x<g(x0)x=0 ，所以 f(x) 在 (x0,+∞) 内单调递减，因此 x0 是 f(x) 的唯一极值点. 令 h(x)=lnx−x+1 ，则当 x>1 时， h′(x)=1x−1<0 ，故 h(x) 在 (1,+∞) 内单调递减，从而当 x>1 时， h(x)<h(1)=0  ，所以 lnx<x−1 .从而 f(ln1a)=lnln1a−a(ln1a−1)eln1a=lnln1a−ln1a+1=h(ln1a)<0 ， 又因为 f(x0)>f(1)=0 ，所以 f(x) 在 (1,+∞) 内有唯零点.又 f(x) 在 (0,x0) 内有唯一零点1，从而， f(x) ）在 (1,+∞) 内恰有两个零点. （ii）由题意， {f′(x0)=0f(x1)=0 即 {ax02ex=1lnx1=a(x1−1)ex1 ，从而 lnx1=x1−1x02ex1−x0 ，即 ex1−x0=x02lnx1x1−1 .因为当 x>1 时， lnx<x−1  ，又 x1>x0>1 ，故 ex1−x0<x02(x1−1)x1−1=x02 ，两边取对数，得 lnex1−x0<lnx02 ，于是 x1-x0<2lnx0<2(x0−1) ， 整理得 3x0-x1>2 .

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