题目

关于 的一元二次方程 ． （1） 求证：无论 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根 （2） 设该方程两个同号的实数根为 ， ，试问是否存在 使 成立，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由． 答案： 证明： ∵Δ=m2−4(m−2)=m2−4m+8=(m−2)2+4>0 ， ∴ 无论 m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． 解：由根与系数的关系可得： x1+x2=−m ， x1x2=m−2 ， ∵ x12+x22+m(x1+x2)=m2+1 ， 则有 (x1+x2)2−2x1x2+m(x1+x2)=m2+1 ， ∴m2−2(m−2)−m2=m2+1 ， 整理得： m2+2m−3=0 ， 解得： m=−3 或 1 ， 由方程有两个同号的实数根可得： x1x2> 0 ，即m－2>0， ∴ m>2， ∴ 不存在m使 x12+x22+m(x+x2)=m2+1 成立．

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