题目

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）且当x＞1时，f（x）＞0． （1） 判断函数f（x）在其定义域（0，+∞）上的单调性并证明； （2） 解不等式f（x）+f（x﹣2）≤3． 答案： 解：函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增． 证明如下：设0＜x1＜x2，则 x2x1 ＞1，∵当x＞1时，f（x）＞0恒成立，f（x）+f（ 1x ）=0，∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（ 1x1 ）=f（ x2x1 ）＞0，∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增 解：∵f（x）+f（x﹣2）≤3=f（8），且函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增， ∴ {x>0x−2>0x(x−2)≤8 ，解得：2＜x≤4，∴不等式f（x）+f（x﹣2）≤3的解集为{x|2＜x≤4}

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