题目

已知函数 是奇函数，其中a＞1． （1） 求实数m的值； （2） 讨论函数f（x）的增减性； （3） 当 时，f（x）的值域是（1，＋∞），求n与a的值． 答案： 解：因为 f(x) 是奇函数，所以 f(−x)=−f(x) ， 所以 loga1+mx−x−1=−loga1−mxx−1=logax−11−mx ， 所以 1+mx−x−1=x−11−mx ， 即 1−m2x2=1−x2 对定义域内任意 x 都成立， 所以 m2=1 ， m=±1 ．由于 1−mxx−1>0 ， 所以 m=−1 . 解： f(x)=loga1+xx−1 的定义域为 (−∞,−1)∪(1,+∞) ． 当 a>1 时， f(x)=loga1+xx−1 ，任取 x1 ， x2∈(1,+∞) ， x1<x2 ， 则 f(x1)−f(x)2=loga1+x1x1−1−loga1+x2x2−1= loga(1+x1x1−1⋅x2−11+x2)=logax1x2−x1+x2−1x1x2+x1−x2−1 ； 因为 x1 ， x2∈(1,+∞) ， x1<x2 ， 所以 x1x2−x1+x2−1x1x2+x1−x2−1>1 ， 所以 f(x1)−f(x2)>0 ，即 f(x1)>f(x2) ， 所以 f(x) 在 (1,+∞) 上单调递减． 又因为 f(x) 是奇函数，所以 f(x) 在 (−∞,−1) 上也单调递减． 解：因为 x∈(n,a−22) ，定义域为 (−∞,−1)∪(1,+∞) ， ①当 n≥1 时，则 1≤n<a−22 ，即 a>1+22 ， 因为 f(x) 在 (n,a−22) 上为减函数，值域为 (1,+∞) ， 所以 f(a−22)=1 ，即 1+a−22a−22−1=a ， 所以 a=2+3 ，或 a=2−1 （不合题意，舍去），且 n=1 ； ②当 n<1 时， (n,a−22)⊆(−∞,−1) ， 所以 n<a−22<−1 ，即 a<22−1 ，且 f(x) 在 (n,a−22) 上为减函数，值域是 (1,+∞) ；所以 f(a−22)=1 ，即 1+a−22a−22−1=a ， 解得 a=2+3 （不合题意，舍去），或 a=2−1 （与 a>1 矛盾，舍去）． 综上， a=2+3 ， n=1 ．

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