题目

如图，已知 中， ， ， ， 是 的角平分线，把 绕点B顺时针旋转角 ，得到 （E与A对应，F与C对应），线段 同时也旋转到 （G与D对应）． （1） 求 的长； （2） 若射线 经过点D ， 连接 ，判断四边形 的形状，说明理由； （3） 连接 ，点M是线段 的中点，若射线 经过点M ， 并交直线 于点K ， 求 的长． 答案： 解： ∵∠ACB=90°,∠CAB=60°,AC=3 ∴BC=3AC=3 ， AD 是 Rt△ABC 的角平分线， ∴∠CAD=∠BAD=30° ∴CD=AC⋅tan30°=1 ∴BD=BC−CD=3−1=2 解：四边形 ADBG 是菱形，理由如下： 如图，由旋转的性质可得：BD=BG，AD=GE， ∠FEG=∠CAD=30° ， ∠EFG=∠C=90° ∴∠BGD=∠EGF=60° ∴△BDG 是等边三角形， ∴BG=BD=AD,∠DBG=60° ∴∠ABG=30°=∠DAB ∴AD//BG ∴ 四边形 ADBG 是平行四边形 ∴AD=BD ∴ 四边形 ADBG 是菱形； 解：如图，取BF的中点T，连接MT， ∵FM=MD,FT=TB ∴MT=12BD=1,MT//BK ∵BT=FT=32,BG=2 ∴GT=2−32=12 ∵MT//BK ∴MTBK=GTGB ∴1BK=122 ∴BK=4 ∵BC=3 ∴CK=1

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