题目

如图所示的自动通风设施.该设施的下部 是等腰梯形，其中 为2米，梯形的高为1米， 为3米，上部 是个半圆，固定点 为 的中点. 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和 平行.当 位于 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形 （阴影部分均不通风）. （1） 设 与 之间的距离为 （ 且 ）米，试将通风窗的通风面积 （平方米）表示成关于 的函数 ； （2） 当 与 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积 取得最大值？ 答案： 解：当 0≤x<1 时，过 A 作 AK⊥CD 于 K （如下图），则 AK=1 ， DK=CD−AB2=12 ， HM=1−x ，由 AKDK=MHDH=2 ，得 DH=HM2=1−x2 ，∴ HG=3−2DH=2+x ，∴ S(x)=HM⋅HG=(1−x)   (2+x)=−x2−x+2 ；当 1<x<52 时，过 E 作 ET⊥MN 于 T ，连接 EN （如下图），则 ET=x−1 ， TN=MN2=(32)2−(x−1)2=94−(x−1)2 ，∴ MN=294−(x−1)2 ，∴ S(x)=MN⋅ET=294−(x−1)2⋅(x−1) ，综上： S(x)={−x2−x+2，0≤x<12(x−1)94−(x−1)2，1<x<52  解：当 0≤x<1 时， S(x)=−x2−x+2=−(x+12)2+94 在 [0，1) 上递减，∴ S(x)max=S(0)=2 ；当 1<x<52 时， S(x)=2(x−1)94−(x−1)2≤ 2⋅(x−1)2+94−(x−1)22=94 ，当且仅当 (x−1)=94−(x−1)2 ，即 x=324+1∈(1，52) 时取“=”，∴ S(x)max=94 ，此时 S(x)max=94>2 ，∴ S(x) 的最大值为 94 ，答：当 MN 与 AB 之间的距离为 324+1 米时，通风窗的通风面积 S 取得最大值.

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