题目

我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的人们根据实际需爱，发明了一种简易操作工具--------三分角器.图1是它的示意图，其中 与半圆O的直径 在同一直线 上，且 的长度与半圆的半径相等； 与 重直F点 足够长. 使用方法如图2所示，若要把 三等分，只需适当放置三分角器，使 经过 的顶点 ，点 落在边 上，半圆O与另一边 恰好相切，切点为F，则 就把 三等分了. 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程. 已知：如图2，点在 同一直线上， 垂足为点B，   ▲  求证：  ▲ 答案：解：已知：如图2，点在 A，B，O，C 同一直线上，  EB⊥AC， 垂足为点B， E 在 BD 上， ME 过点 A ， AB=OB=OC， EN 为半圆 O 的切线，切点为 F . 求证： EB，EO为∠MEN的三等分线. 证明：如图，连接OF.则∠OFE=90°，  ∵EB⊥AC，EB与半圆相切于点B， ∴∠ABE=∠OBE=90°， ∵BA=BO.EB=EB， ∴△EAB≌△EOB    ∴∠AEB=∠BEO， ∵EO=EO.OB=OF，∠OBE=∠OFE =90° ， ∴ △OBE≌△OFE ， ∴∠OEB=∠OEF， ∴∠AEB=∠BEO=∠OEF， ∴EB，EO为∠MEN的三等分线. 故答案为： E 在 BD 上， ME 过点 A ， AB=OB=OC， EN 为半圆 O 的切线，切点为 F . EB，EO为∠MEN的三等分线.

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