题目

如图，在四棱锥中，侧面底面 ， ， 为中点，底面是直角梯形， ， ， ， ． （1） 求证：平面； （2） 求证：平面平面； （3） 设为棱上一点， ， 试确定的值使得二面角为 ． 答案： 证明：令PD中点为F，连接EF，AF∵点E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF//__12CD，∴EF//__AB，∴四边形FABE为平行四边形. ∴BE//AF，AF⊂平面PAD， BE⊄平面PAD，∴BE//平面PAD 证明：在梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H，在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°.又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°，∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°∴BC⊥BD. ∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PD⊥CD，PD⊂平面PCD， ∴PD⊥平面ABCD， ∴PD⊥BC， ∵BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD， ∵BC⊂平面PBC， ∴平面PBC⊥平面PBD 解：作QR⊥CD于R，作RS⊥BD于S，连结QS，由于QR//PD，∴QR⊥平面ABCD，∴QR⊥BD，∵QR∩RS=R，∴BD⊥平面RQS，∴QS⊥BD，∴∠QSR就是二面角Q−BD−C的平面角∵平面PBD⊥平面ABCD，且二面角Q−BD−P为45°，∴∠QSR=45°，∴SR=QR，设SR=QR=x，又△CQR∼△CPD，CRCD=QRPD，则RC=2x，DR=2−2x=2x，故x=2−2，∴PQPC=DRDC=2−1，∴λ=2−1.

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