题目

已知抛物线 上一点 到其焦点 的距离为 ，过点 作两条斜率为 ， 的直线 ， 分别与该抛物线交于 ， 与 ， 两点，且 ， ． （1） 求抛物线的方程； （2） 求实数 的取值范围． 答案： 抛物线 x2=2py(p>0) 上一点 P(2，y0) 到其焦点 F 的距离为 2 ， 所以 {4=2py0y0+p2=2 ，解得： {p=2y0=1 ， 所以抛物线的方程为 x2=4y ； 设直线 l1 ： y=k1(x−t) ， A(x1，y1) ， B(x2，y2) 与抛物线方程联立可得 x2=4k1(x−t) ，即 x2−4k1x+4k1t=0 ， 所以 x1+x2=4k1 ， x1x2=4k1t ， 可得 |AB|=1+k2|x1−x2|=1+k2×(x1+x2)2−4x1x2 =1+k2×16k12−16k1t=41+k2k12−k1t 点 F(0，1) 到直线 l1 ： y=k1(x−t) 的距离为 d=|1+k1t|1+k12 ， 所以 S△FAB=12|AB|⋅d=12×41+k12k12−k1t⋅|1+k1t|1+k12=2k12−k1t⋅|1+k1t| ， 同理可得： S△FCD=2k22−k2t⋅|1+k2t| ， 因为 k1+k2=0 ，且 S△FAB=S△FCD ， 所以 k12−k1t⋅|1+k1t|=k12+k1t⋅|1−k1t| ， 两边同时平方整理得： k12(2−t2)=1 ，所以 k12=12−t2>0 ， 所以 0<t<2 ， 因为 {Δ1=16k12−4×4k1t>0Δ2=16k22−4×4k2t>0 即 {Δ1=16k12−4×4k1t>0Δ2=16k12+4×4k1t>0 ， 可得 k12>t2 ，即 12−t2>t2 ，即 (t2−1)2>0 ，所以 t≠±1 ， 综上所述：实数 t 的取值范围是 (0，1)∪(1，2)

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