题目

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，连结BD ． 点P从点A出发，沿折线AB－BD－DC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．当点P不与矩形ABCD的顶点重合时，以AP为对角线作正方形AEPF（点F在直线AP的右侧）．设正方形AEPF的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）． （1） 当点P在线段BD上时，用含t的代数式表示PB的长，并写出t的取值范围； （2） 当AP⊥BD时，求t的值； （3） 求S与t之间的函数关系式． （4） 当直线BF将正方形AEPF分成的两部分图形面积相等时，直接写出t的值． 答案： 解：在Rt△ABD中， BD=AB2+AD2=42+32=5 ． 当点P在线段BD上时， PB=t−4 ． t的取值范围为 4<t<9 ． 解：当AP⊥BD时，分两种情况讨论： 当点P在BD上时，如图①． ∵ ∠APB=90° ， ∴ cos∠ABD=ABBD=BPAB ，即 45=BP4 ． ∴BP＝ 165 ． ∴ t−4=165 ． 解得： t=365 ． 当P在DC上时，如图②． ∵ ∠AMB=90° ， ∴ ∠BAM+∠ABD=90° ． 又∵ ∠BAM+∠MAD=90° ， ∴ ∠ABD=∠DAM ． ∴ tan∠ABD=tan∠DAM ． ∴ ADAB=DPAD ，即 34=DP3 ． ∴DP＝ 94 ． ∴ t−9=94 ． 解得： t=454 ． 解：当 0<t<4 时，如图③． S=12t2 ． 当 4<t<9 时，如图④． 过点P作PM⊥AB于M． PM=3t−125 ， BM=4t−165 ， AM=−4t+365 ． ∴ S=12AP2=12(PM2+AM2)=12t2−365t+1445 ， 当 9<t<13 时，如图⑤， 则 DP=t−9 ， S=12AP2=12(AD2+DP2)= 12t2−9t+45 ． 综上所述： S={12t2,(0<t<4)12t2−365t+1445,(4<t<9)12t2−9t+45,(9<t<13) ； 8或 13−7

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