题目

已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|． （Ⅰ） 若f（1）＜3，求实数a的取值范围； （Ⅱ） 若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2． 　 答案：【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式． 【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可． 【解答】解：（Ⅰ） 因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3． ①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3， 解得，所以； ②当时，得a+（1﹣2a）＜3， 解得a＞﹣2，所以； ③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3， 解得，所以；    综上所述，实数a的取值范围是． （Ⅱ） 因为a≥1，x∈R， 所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2． 　

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