题目

已知函数 ． （1） 讨论的单调性； （2） 若在上有零点 ， ①求a的取值范围； ②求证： ． 答案： 解：f'(x)=1x−a，x∈(0，+∞)． 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，f(x)在(0，+∞)上单调递增． 当a>0时，f'(x)=−a(x−1a)x， 当x∈(0，1a)时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(1a，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减． 综上，a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增， 当a>0时f(x)在(0，1a)上单调递增，在(1a，+∞)上单调递减． 解：①注意到，f(1)=ln1−a+a=0， 由（1）知，当a≤0时，f(x)在[1，+∞)上单调递增， 对任意x>1，恒有f(x)>f(1)=0，不合题意； 同理，当a≥1时，f(x)在(1a，+∞)上单调递减， 又1a<1，所以对任意x>1，恒有f(x)<f(1)=0，不合题意； 当0<a<1时，1a>1，由（1）知，f(x)在[1，1a)上单调递增， 在(1a，+∞)上单调递减，所以f(1a)>f(1)=0， 又当x→+∞时，f(x)→−∞， 由零点存在定理知，存在唯一一点x0∈(1a，+∞)，使得f(x0)=0，满足题意． 综上所述，a的取值范围为{a|0<a<1}． ②由①知，当0<a<1时，f(x0)=lnx0−ax0+a=0， 解得a=lnx0x0−1．要证x0>2−aa，只需证lnx0>2(x0−1)x0+1． 令g(x)=lnx−2(x−1)x+1，x∈(1，+∞)， 则g'(x)=1x−4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0， 所以g(x)=lnx−2(x−1)x+1在(1，+∞)上单调递增， 又g(1)=0， 所以g(x)>0在(1，+∞)上恒成立，即lnx0>2(x0−1)x0+1，即x0>2−aa． 要证x0<e1a，只需证lnx0<1a，即lnx0<x0−1lnx0． 又因为x0>1，即证(lnx)2<x0−1． 令h(x)=(lnx)2−x+1，x∈(1，+∞)，则h(x)=2lnx−xx． 又(2lnx−x)′=2x−1=2−xx， 所以函数y=2lnx−x在(1，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减， 当x=2时，(2lnx−x)max=2ln2−2<0， 所以h(x)<0在(1，+∞)恒成立，所以h(x)在(1，+∞)上单调递减， 又x0>1，所以h(x0)<h(1)=0，即(lnx)2<x0−1，不等式得证．

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