题目

如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y1＝﹣ x2+ x+ 的顶点为C，与x轴交于点A，B．抛物线y2与y1关于原点对称，y2的顶点为D，与x轴交于点E，F． （1） 求y2的解析式； （2） 连接BC，CE，DE，BD，判断四边形BCED的形状，并说明理由． 答案： 解：对于抛物线y1＝﹣ 22 x2+ 2 x+ 322 ， 令y＝0，则 −22x2+2x+322=0 ， 解得：x1＝3，x2＝﹣1． ∴A（﹣1，0），B（3，0）． ∵ y1=−22x2+2x+322=−22(x−1)2+22 ∴C（1， 22 ）． ∵抛物线y2与y1关于原点对称， ∴D（﹣1，﹣ 22 ），E（﹣3，0），F（1，0）． 设抛物线y2的解析式为 y2=a(x+1)2−22 ，由题意得： (1+1)2a−22=0 ． 解得： a=22 ． ∴抛物线y2的解析式为y2＝ 22x2+2x−322 解：四边形BCED是矩形，理由： 连接CF，DA，如图， ∵C（1， 22 ），F（1，0）， ∴CF⊥AB． 同理：AD⊥EF． ∵C（1， 22 ），D（﹣1，﹣ 22 ）， ∴CF＝AD＝ 22 ． ∵A（﹣1，0），B（3，0），E（﹣3，0），F（1，0）， ∴OA＝OF＝1，OE＝OB＝3． ∴EF＝AB＝4，EB＝OE+OB＝6． 又 AD=CF=22 ， ∴ EC=EF2+CF2=42+(22)2=26 ， BD=AB2+AD2=42+(22)2=26 ， ∴EC＝BD． 同理：DE＝BC＝ 23 ． ∴四边形BCED是平行四边形． ∵ CE2+BC2=24+12=36=EB2 即 CE2+BC2=EB2 ． ∴∠ECB＝90°． ∴四边形BCED是矩形．

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