题目

已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数． （1）若函数g（x）在x=1处有极值，求g（x）的解析式； （2）若函数g（x）在区间[﹣1，1]上为增函数，且b2﹣mb+4≥g（x）在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数m的取值范围． 答案：考点： 利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；直线的斜率． 专题： 计算题． 分析： （1）先求出斜率为3的切线方程，根据两条切线间的距离求出a值，再讨论满足g′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，求出b即可． （2）欲使函数g（x）在区间[﹣1，1]上为增函数只需转化成g′（x）≥0在区间[﹣1，1]上恒成立，求出b的范围，根据g（x）在x∈[﹣1，1]是增函数知g（x）的最大值为g（1），只需使b2﹣mb+4≥g（1）恒成立即可． 解答： 解：（1）∵， ∴由=3得x=±a， 即切点坐标为（a，a），（﹣a，﹣a） ∴切线方程为y﹣a=3（x﹣a），或y+a=3（x+a）（2分） 整理得3x﹣y﹣2a=0或3x﹣y+2a=0 ∴， 解得a=±1， ∴f（x）=x3． ∴g（x）=x3﹣3bx+3（4分） ∵g′（x）=3x2﹣3b，g（x）在x=1处有极值， ∴g′（1）=0， 即3×12﹣3b=0，解得b=1 ∴g（x）=x3﹣3x+3（6分） （2）∵函数g（x）在区间[﹣1，1]上为增函数， ∴g′（x）=3x2﹣3b≥0在区间[﹣1，1]上恒成立， ∴b≤0， 又∵b2﹣mb+4≥g（x）在区间[﹣1，1]上恒成立， ∴b2﹣mb+4≥g（1）（8分） 即b2﹣mb+4≥4﹣3b，若b=0，则不等式显然成立，若b≠0， 则m≥b+3在b∈（﹣∞，0）上恒成立 ∴m≥3． 故m的取值范围是[3，+∞） 点评： 本题主要考查了利用导数研究函数极值，以及函数恒成立问题和利用待定系数法求解析式，属于基础题．

查看本题答案和解析