题目

红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少 万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）. （1） 直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2） 当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？ （3） 为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值. 答案： 解：由题意，当 40≤x≤50 时， y=5 ， 当 x>50 时， y=5−0.1(x−50)=−0.1x+10 ， ∵y≥0 ， ∴−0.1x+10≥0 ， 解得 x≤100 ， 综上， y={5(40≤x≤50)−0.1x+10(50<x≤100) 解：设该产品的月销售利润为 w 万元， ①当 40≤x≤50 时， w=5(x−40)=5x−200 ， 由一次函数的性质可知，在 40≤x≤50 内， w 随 x 的增大而增大， 则当 x=50 时， w 取得最大值，最大值为 5×50−200=50 ； ②当 50<x≤100 时， w=(x−40)(−0.1x+10)=−0.1(x−70)2+90 ， 由二次函数的性质可知，当 x=70 时， w 取得最大值，最大值为90， 因为 90>50 ， 所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元 解： ∵ 捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元）， ∴50<x≤70 ， 设该产品捐款当月的月销售利润为 Q 万元， 由题意得： Q=(x−40−a)(−0.1x+10) ， 整理得： Q=−0.1(x−140+a2)2+a240−3a+90 ， ∵140+a2>70 ， ∴ 在 50<x≤70 内， Q 随 x 的增大而增大， 则当 x=70 时， Q 取得最大值，最大值为 (70−40−a)(−0.1×70+10)=90−3a ， 因此有 90−3a=78 ， 解得 a=4

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