题目

已知函数f（x）=|x+2|+|x+a|（a∈R）．（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的最小值，并写出此时x的取值集合；（Ⅱ）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）若a=5，f（x）=|x+2|+|x+5|= {−2x−7，x<−53，−5≤x≤−22x+7，x>−2 ．其图象如图：∴f（x）的最小值为3，使f（x）取得最小值的x的集合为{x|﹣5≤x≤﹣2}；（Ⅱ）f（x）=|x+2|+|x+a|=|x﹣（﹣2）|+|x﹣（﹣a）|，由绝对值的几何意义可知，f（x）为数轴上动点x与两个定点﹣2、﹣a的距离的和，如图：当动点x与﹣2重合时，|x﹣（﹣2）|最小为0，要使f（x）≥3恒成立，则|﹣2﹣（﹣a）|≥3，即|a﹣2|≥3，得a﹣2≤﹣3或a﹣2≥3，∴a≤﹣1或a≥5

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