题目

如图，在四边形 中， ， ， ，连接 ， ． （1） 求 的值； （2） 若 ， ，求 的面积最大值． 答案： 解： ΔBCD 中，由正弦定理得 BDsin∠BCD=BCsin∠BDC ， 所以 sin∠BDC=BC⋅sin∠BCDBD=12 ． 因为 3BD=4BC ，所以 BD>BC ， 所以 ∠BDC 为锐角， 所以 ∠BDC=π6 . 解：在 ΔABD 中， AD=3 ， BD=1 ， ∠ADB=2π3−π6=π2 ， 所以 AB=AD2+BD2=2 ． 在 ΔABE 中，由余弦定理得 AB2=AE2+BE2−2AE⋅BE⋅cosπ3 ， 所以 4=AE2+BE2−AE⋅BE≥ 2AE⋅BE−AE⋅BE=AE⋅BE ， 当且仅当 AE=BE 时等号成立， 所以 AE⋅BE≤4 ， 所以 SΔABE=12AE⋅BE⋅sinπ3≤12×4×32=3 ， 即 ΔABE 面积的最大值为 3 ．

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