题目

如图（1）所示，在直角梯形中，，，，，、、分别为线段、、的中点，现将折起，使平面平面（图（2））. （1）求证：平面平面；（2）若点是线段的中点，求证：平面；（3）求三棱锥的体积. 答案： ∵E 、 F 分别是 PC 、 PD 的中点， ∴EF//CD ，又 CD//AB ， ∴EF//AB ， ∵EF⊄ 平面 PAB ， AB⊂ 平面 PAB ， ∴EF// 平面 PAB ，同理， EG// 平面 PAB ， ∵EF∩EG=E ， EF⊂ 平面 EFG ， EG⊂ 平面 EFG ，因此，平面 EFG// 平面 PAB ；连接 DE 、 EQ ， ∵E 、 Q 分别是 PC 、 PB 的中点， ∴EQ//BC ，又 BC//AD ， ∴EQ//AD ，所以， A 、 D 、 E 、 Q 四点共面. 翻折前， CD⊥PA ，翻折后，对应的有 CD⊥PD ， CD⊥AD ， ∵ 平面 PDC⊥ 平面 ABCD ，平面 PDC∩ 平面 ABCD=DC ， PD⊂ 平面 PDC ， ∴PD⊥ 平面 ABCD . ∵AD⊂ 平面 ABCD ， ∴AD⊥PD ，又 AD⊥DC ， PD∩DC=D ， ∴AD⊥ 平面 PDC ， ∵PC⊂ 平面 PDC ， ∴AD⊥PC . 在 △PDC 中， PD=CD ， E 是 PC 的中点， ∴DE⊥PC ， ∵DE∩AD=D ， ∴PC⊥ 平面 ADEQ ，即 PC⊥ 平面 ADQ ；翻折前， BC//AP ，翻折后，对应的有 BC//AD ， ∵AD⊥ 平面 PDC ， ∴BC⊥ 平面 PDC ， VC−EFG=VG−CEF=13S△CEF⋅GC=13×(12×1×1)×1=16 .

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