题目

已知数列{an}的前n项和为Sn ， 满足Sn=2﹣an（n∈N*）．数列{bn}满足（2n﹣1）bn+1﹣（2n+1）bn=0（n∈N*），且b1=1． （1） 求数列{an}和{bn}的通项公式； （2） 设cn=an•bn ， 求数列{cn}的前n项和为Tn ． 答案： 解：数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2﹣an（n∈N*）．得到：Sn+1=2﹣an+1，则：an+1=an﹣an+1，整理得： an+1an=12所以：数列{an}是以1为首项， 12 为公比的等比数列则： an=12n−1 ．数列{bn}满足（2n﹣1）bn+1﹣（2n+1）bn=0（n∈N*），则： bn+12n+1=bn2n−1 ，所以：数列{ bn2n−1 }是常数列．则：{bn}的通项公式为：bn=2n﹣1 解：由（1）得：cn=an•bn= (2n−1)⋅12n−1 ，则： Tn=1⋅12+3⋅122 +…+ (2n−1)⋅12n−1 ①所以： 12Tn=1⋅122+3⋅123 +…+ (2n−1)⋅12n ②则：①﹣②得： 12Tn=1+2(12+⋯+12n−1 ）﹣ (2n−1)⋅12n ，整理得：Tn= 6−(2n+3)⋅12n−1

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