题目

如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且. （1） 判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2） 若 ， ， ①求⊙O的半径； ②求BD的长. 答案： 解：CO与⊙O相切，理由如下∶ 连接OD， ∵OB=OD ∴∠OBD=∠ODB ∵BE=DE ∴∠EBD=∠EDB 又∵BE与⊙O相切 ∴BE⊥AB，即∠EBA=90° ∴∠EBD+∠OBD=90° ∴∠FDB+∠ODB=90°，即∠ODE=90°， ∴CD⊥OD ∴CD与⊙O相切； 解：①设OD=OA=r， ∵CD⊥OD ∴∠CDO=90° ∴sinC=ODOC=13 ∵AC=4， ∴rr+4=13，解得r=2 故⊙O的半径为2； ②由①得：OC=6，OD=2，AB=4， 在Rt△COD中，CD=OC2−OD2−62−22=42 ∵AB为直径 ∴∠BDO+∠ADO=90° ∵∠ADC+∠ADO=90° ∴∠ADC=∠BDO ∵∠OBD=∠ODB ∴∠ADC=∠OBD 又∵∠C=∠C ∴ΔCAD∽ΔCDB ∴ADBD=ACCD=442=22 设AD=2x，则BD=2x， 由勾股定理得AD2+BD2=AB2，即(2x)2+(2x)2=42 解得x=263（负值舍去） ∴BD=2x=463

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