题目

如图，多面体 中，底面 是菱形， ，四边形 是正方形且 平面 . （1） 求证： 平面 ； （2） 若 ，求多面体 的体积 . 答案： 证明： ∵ABCD 是菱形， ∴BC//AD . 又 BC⊄ 平面 ADE ， AD⊂ 平面 ADE ， ∴BC// 平面 ADE .又 BDEF 是正方形， ∴BF//DE . ∵BF⊄ 平面 ADE ， DE⊂ 平面 ADE ， ∴BF// 平面 ADE . ∵BC⊂ 平面 BCF ， BF⊂ 平面 BCF BC∩​BF=B   ∴ 平面 BCF// 平面 AED ， ∴CF// 平面 AED 解：连接 AC ，记 AC∩​BD=O . ∵ABCD 是菱形， AC⊥BD ，且 AO=BO . 由 DE⊥ 平面 ABCD ， AC⊂ 平面 ABCD ， DE⊥AC . ∵DE⊂ 平面 BDEF ， BD⊂ 平面 BDEF ， DE∩​BD=D ， ∴AC⊥ 平面 BDEF 于 O ， 即 AO 为四棱锥 A−BDEF 的高. 由 ABCD 是菱形， ∠BCD=60° ，则 ΔABD 为等边三角形，由 AE=2 ，则 AD=DE=1 ， AO=32 ， SBDEF=1 ， VA−BDEF=13SBDEF⋅AO   =36 ， V=2VA−BDEF=33

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