题目

设函数 ， ． （1） 求函数 的单调区间； （2） 若方程 有两个不相等的实数根 、 ，求证： ． 答案： 解： f′(x)=x−(a−2)−2ax=x2−(a−2)x−2ax=(x−a)(x+2)x(x>0) ． 当 a≤0 时， f′(x)>0 ，函数 f(x) 在 (0，+∞) 上单调递增， 函数 f(x) 的单调增区间为 (0，+∞) ； 当 a>0 时，由 f′(x)>0 ，得 x>a ；由 f′(x)<0 ，得 0<x<a ． 所以函数 f(x) 的单调增区间为 (a，+∞) ，单调减区间为 (0，a) 证明：因为 x1 、 x2 是方程 f(x)=c 的两个不等实根，由（1）知 a>0 ． 不妨设 0<x1<x2 ，则 12x12−2alnx1−(a−2)x1=c ， 12x22−alnx2−(a−2)x2=c ． 两式相减得 12x12−2alnx1−(a−2)x1−12x22+2alnx2+(a−2)x2=0 ， 即 12x12+2x1−12x22−2x2=ax1+2alnx1−ax2−2alnx2=a(x1+2lnx1−x2−2lnx2) ． 所以 a=12x12+2x1−12x22−2x2x1+2lnx1−x2−2lnx2 ． 因为 f′(a)=0 ， 当 x∈(0，a) 时， f′(x)<0 ，当 x∈(a，+∞) 时， f′(x)>0 ， 故要证 f′(x1+x22)>0 ，只需证 x1+x22>a 即可，即证明 x1+x22>12x12+2x1−12x22−2x2x1+2lnx1−x2−2lnx2 ， 即证明 x12−x22+2(x1+x2)(lnx1−lnx2)<x12+4x1−x22−4x2 ， 即证明 lnx1x2<2x1−2x2x1+x2 ．设 t=x1x2(0<t<1) ． 令 g(t)=lnt−2t−2t+1 ，则 g′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2 ． 因为 0<t<1 ，所以 g′(t)>0 ，所以 g(t) 在 (0，1) 上是增函数． 所以 g(t)<g(1)=0 ， 所以 f′(x1+x22)>0 成立．

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