题目

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+n（m＜0）的顶点为A，与x轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴正半轴交于点D，连接AD并延长交x轴于E，连AC、DC.S△DEC：S△AEC=3：4. （1） 求点E的坐标； （2） △AEC能否为直角三角形？若能，求出此时抛物线的函数表达式；若不能，请说明理由. 答案： 解：如图所示：设此抛物线对称轴与x轴交于点F， ∴S△DEC：S△AEC=DO：AF=3：4.∵DO∥AF，∴△EDO∽△EAF， ∴EO：EF=DO：AF=3：4， ∴EO：OF=3：1，由y=mx2﹣2mx+n（m＜0） 得：A（1，n﹣m），D（0，n），∴OF=1， ∴EO=3， ∴E（﹣3，0）； 解：∵DO：AF=3：4， ∴ nn−m = 34 ，∴n=﹣3m， ∴y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x2﹣2x﹣3） =m（x﹣3）（x+1）， ∴B（﹣1，0），C（3，0），A（1，﹣4m）， 由题意可知，AE，AC不可能与x轴垂直，∴若△AEC为直角三角形， 则∠EAC=90°.又∵AF⊥EC， 可得：△EFA∽△AFC，∴ EFAF = AFCF ，即 4−4m = −4m2 . ∵m＜0， ∴m=﹣ 22 ， ∴二次函数解析式为：y=﹣ 22 x2+ 2 x+ 322 .

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