题目

如图：在△ABC 中，∠BAC＝110°，AC＝AB，射线 AD、AE 的夹角为 55°，过点 B 作BF⊥AD 于点 F，直线 BF 交 AE 于点 G，连接 CG． （1） 如图 1，若射线 AD、AE 都在∠BAC 的内部，且点 B 与点 B′关于 AD 对称，求证：CG＝B'G； （2） 如图 2，若射线 AD 在∠BAC 的内部，射线 AE 在∠BAC 的外部，其他条件不变，求证：CG＝BG﹣2GF； （3） 如图 3，若射线 AD、AE 都在∠BAC 的外部，其他条件不变，若 CG＝ GF，AF＝4，S△ABG＝12，求BF的长． 答案： 证明：如图1，连接AB′，∵B，B′关于AD对称，∴BB′被AD垂直平分，∴AB′＝AB， ∵AC=AB，∴AC=AB′，∵AF⊥BG，∴∠BAF＝∠B′AF，∵∠GAF＝55°，∴∠B′AF+GAB′＝55°，∵∠CAB＝110°，∴∠CAG+∠FAB＝55°，∴∠B′AF+∠GAB′＝∠CAG+∠FAB，∵∠BAF＝∠B′AF，∴∠GAB′＝∠CAG，∵AG＝AG，∴△CGA≌△B′GA，∴CG＝B′G． 证明：如图2，在FB上截取FG′＝GF，连接AG′，∵BF⊥AD，∴AG＝AG′，∴∠GAF＝∠G′AF∴∠GAG′＝2∠GAF＝110°，∵∠CAB＝110°，∴∠GAG′＝∠CAB，∴∠GAG′-∠CAG′＝∠CAB−∠CAG′，∴∠GAC＝∠G′AB，∵AC＝AB，∴△GAC≌△G′AB，∴CG＝G′B，∵FG′＝GF，∴GG'＝2GF，∵GB＝GG′+G′B，∴GB＝2GF+CG，∴CG＝GB−2GF； 解：如图3，延长BF至点G′，使G′F＝GF，连接AG′，∵BF⊥AD，∴AG＝AG′，∴∠GAF＝∠G′AF，∴∠GAG′＝2∠GAF＝110°，∵∠CAB＝110°，∴∠GAG′＝∠CAB，∴∠GAG′+∠BAG＝∠CAB−∠BAG，∴∠GAC＝∠G′AB ，∵AC＝AB ，∴△GAC≌△G′AB ，∴CG＝G′B，∵FG′＝GF，∴GG′＝2GF，∴CG＝2GF+BG，∵S△ABG＝12 ，AF＝4，∴12BG•AF＝12，∴12×BG×4＝12，∴BG＝6，设GF＝x，∵CG＝114GF ，∴CG＝114x ，∵CG＝G'B ，∴6+2x=114x，∴x=8，∴BF＝8+6=14．

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