题目

已知 、 是双曲线 的两个顶点，点 是双曲线上异于 、 的一点， 为坐标原点，射线 交椭圆 于点 ，设直线 、 、 、 的斜率分别为 、 、 、 . （1） 若双曲线 的渐近线方程是 ，且过点 ，求 的方程； （2） 在（1）的条件下，如果 ，求 的面积； （3） 试问： 是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由. 答案： 解：由于双曲线 C1 的渐近线方程为 y=±12x ，可设双曲线 C1 的方程为 x24−y2=λ ， 将点 (5，12) 的坐标代入双曲线 C1 的方程得 λ=(5)24−(12)2=1 ， 因此，双曲线 C1 的方程为 x24−y2=1 ； 解：设射线 OP 所在直线的方程为 y=kx ，设点 P(x0，y0) ，则 y0=kx0 ， 因为点 P 在双曲线 C1 上，所以 x024−y02=1 ，可得 x02−4=4y02 . ∵k1+k2=y0x0+2+y0x0−2=2x0y0x02−4=2x0y04y02=x02y0=12k=158 ， ∴k=415 . 所以，射线 OP 所在直线的方程为 y=415x . 联立直线 OP 的方程与椭圆 C2 的方程 {y=415xx24+y2=1 ，解得 y2=64289 ， 所以，点 Q 的纵坐标为 ±817 ，因此， ΔABQ 的面积为 S=12×4×817=1617 ； 解：设点 P(x0，y0) 、 Q(x1，y1) ， 由于点 P 在双曲线 C1 上，则 x02a2−y02b2=1 ，得 x02−a2=a2y02b2 ， k1=y0x0+a ， k2=y0x0−a ， ∴k1+k2=y0x0+a+y0x0−a=2x0y0x02−a2=2x0y0a2b2y02=2b2x0a2y0=2b2ka2 ， 同理可得 k3+k4=−2b2ka2 ，因此， k1+k2+k3+k4=0 .

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