题目

已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，点P在第一象限， 为左顶点， 为下顶点， 交 轴于点 ， 交x轴于点D. （1） 求椭圆E的标准方程； （2） 若 ，求点P的坐标. 答案： 解：由题意得 {ca=32a2=b2+c274a2+916b2=1 ，解得 {a2=4b2=1 ， 所以椭圆E的方程为 x24+y2=1 . 解：由（1）知点 A(−2,0) ， B(0,−1) ， 由题意可设直线 AP 的斜率为 k ，则 0<k<12 ，所以直线 AP 的方程为 y=k(x+2) ，则点 C 的坐标为 (0,2k) ， 联立方程 {y=k(x+2)x24+y2=1 ，消去 y 得： (1+4k2)x2+16k2x+16k2−4=0 . 设 P(x1,y1) ，则 −2⋅x1=16k2−41+4k2 ，所以 x1=−8k2−21+4k2 ， 所以 y1=k(−8k2−21+4k2+2)=4k1+4k2 ，所以 P(−8k2−21+4k2,4k1+4k2) . 设 D 点的坐标为 (x0,0) ，因为点 P,B,D 三点共线，所以 kBD=kPB ，即 1x0=4k1+4k2+1−8k2−21+4k2 ，所以 x0=2−4k1+2k ，所以 D(2−4k1+2k,0) . 因为 CD//AB ，所以 kCD=kAB ，即 2k−2−4k1+2k=−12 ， 所以 4k2+4k−1=0 ，解得 k=−1±22 ， 又 0<k<12 ，所以 k=2−12 符合题意， 计算可得 −8k2−21+4k2=2 ， 4k1+4k2=22 ， 故点 P 的坐标为 (2,22) .

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