题目

设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(4)=1,对任意的x1,x2∈(0,+∞),有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x1≠x2时,有>0. (1)求f(1)的值; (2)若f(x+6)>2,求x的取值范围. 答案：解(1)在f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)中,令x1=1,得f(x2)=f(1)+f(x2),故f(1)=0. (2)在f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)中,令x1=x2=4, 得f(16)=f(4)+f(4)=2. 因为当x1≠x2时,>0, 所以f(x)在(0,+∞)内是增函数. 又因为f(x+6)>2,所以f(x+6)>f(16), 即x+6>16,解得x>10. 故x的取值范围是(10,+∞).

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