题目

已知函数 （b为常数）. （1） 若图象经过点 ，判断图象经过点 吗？请说明理由； （2） 设该函数图象的顶点坐标为 ，当b的值变化时，求m与n的关系式； （3） 若该函数图象不经过第三象限，当 时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值. 答案： 解：经过， 把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中得： 4﹣2b+3b＝4， 解得b＝0， ∴此函数表达式为：y＝x2， 当x＝2时，y＝4， ∴图象经过点（2，4）； 解：∵抛物线函数y＝x2+bx+3b（b为常数）的顶点坐标是 （m，n）， ∴﹣ b2 ＝m， 12b−b24 ＝n， ∴b＝﹣2m， 把b＝﹣2m代入 12b−b24 ＝n得n＝ −24m−4m24 ＝﹣m2﹣6m. 即n关于m的函数解析式为n＝﹣m2﹣6m. 解：把x＝0代入y＝x2+bx+3b得y＝3b， ∵抛物线不经过第三象限， ∴3b≥0，即b≥0， ∵y＝x2+bx+3b＝（x+ b2 ）2﹣ b24 +3b， ∴抛物线顶点（﹣ b2 ，﹣ b24 +3b）， ∵﹣ b2 ≤0， ∴当﹣ b24 +3b≥0时，抛物线不经过第三象限， 解得b≤12， ∴0≤b≤12，﹣6≤﹣ b2 ≤0， ∴当﹣6≤x≤1时，函数最小值为y＝﹣ b24 +3b， 把x＝﹣6代入y＝x2+bx+3b得y＝36﹣3b， 把x＝1代入y＝x2+bx+3b得y＝1+4b， 当36﹣3b﹣（﹣ b24 +3b）＝16时， 解得b＝20（不符合题意，舍去）或b＝4. 当1+4b﹣（﹣ b24 +3b）＝16时， 解得b＝6或b＝﹣10（不符合题意，舍去）. 综上所述，b＝4或6.

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