题目

如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F． （1）求证：AE为⊙O的切线． （2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径． （3）在（2）的条件下，求线段BG的长． 答案：【考点】圆的综合题． 【专题】证明题． 【分析】（1）连接OM．利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM后即可证得AE是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为R，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行线的性质得到=，即可解得R=3，从而求得⊙O的半径为3； （3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，根据∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2． 【解答】（1）证明：连接OM． ∵AC=AB，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC，CE=BE=BC=4， ∵OB=OM， ∴∠OBM=∠OMB， ∵BM平分∠ABC， ∴∠OBM=∠CBM， ∴∠OMB=∠CBM， ∴OM∥BC 又∵AE⊥BC， ∴AE⊥OM， ∴AE是⊙O的切线；   （2）设⊙O的半径为R， ∵OM∥BE， ∴△OMA∽△BEA， ∴=即=， 解得R=3， ∴⊙O的半径为3；   （3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH， ∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°， ∴四边形OMEH是矩形， ∴HE=OM=3， ∴BH=1， ∴BG=2BH=2． 【点评】本题考查了圆的综合知识，题目中还运用到了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大．

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