题目

已知函数相邻两个零点之间的距离为 ， 且的图像关于点（ ， 0）对称． （1） 求函数的解析式； （2） 将图像上所有点的横坐标缩短到原来的 ， 纵坐标不变，再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若在[0，m]上的值域为[－1，2]，求m的取值范围． 答案： 解：由题得T=π，∴ω=2ππ=2，则f(x)=2sin(2x+φ)，∵函数f（x）的图像关于点（5π12，0）对称，∴f(5π12)＝2sin(2×5π12＋φ)＝0，即5π6＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ=kπ−5π6，k∈Z，又 |φ|<π2，∴φ=π6.故f(x)=2sin(2x+π6) 解：将f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得y=2sin(4x+π6)，再将所得的图像向右平移π12个单位长度，得y=2sin[4(x−π12)+π6]=2sin(4x−π6)，所以g(x)＝2sin(4x−π6)，∵0⩽x⩽m，∴−π6⩽4x−π6⩽4m−π6， ∴−1⩽2sin(4x−π6)， ∵g(x)在[0，m]上的值域为[－1，2]，∴π2⩽4m−π6⩽7π6，解得π6≤m≤π3，故m的取值范围为[π6，π3]．

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